自然对数 - ln(x)
自然对数是一个数的以 e 为底的对数。
自然对数定义
当
e y = x
时，x 的底为 e 的对数是
ln(x) = loge(x) = y
e常数 或欧拉数是：
e ≈ 2.71828183
Ln 作为指数函数的反函数
自然对数函数 ln(x) 是指数函数 ex 的反函数。
对于 x>0，
f (f -1(x)) = eln(x) = x
或者
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
自然对数规则与性质
| 规则名称 | 规则 | 示例 |
|---|---|---|
乘积规则 |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
商规则 |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
幂规则 |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
ln 的导数 |
f (x) = ln(x) ⇒ f ' (x) = 1 / x | |
ln 的积分 |
∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C | |
负数的 ln |
ln(x) 当 x ≤ 0时未定义 | |
零的 ln |
ln(0) 未定义 | |
 |
||
1 的 ln |
ln(1) = 0 | |
无穷大的 ln |
lim ln(x) = ∞ ,当 x→∞ | |
| 欧拉恒等式 | ln(-1) = iπ |
对数乘积规则
乘积 x 和 y 的对数是 x 和 y 的对数的和。
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
例如：
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
对数商规则
除法 x 和 y 的对数是 x 和 y 的对数的差。
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
例如：
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
对数幂规则
数 x 的幂 y 的对数是 y 乘以 x 的对数。
logb(x y) = y ∙ logb(x)
例如：
log10(28) = 8∙ log10(2)
自然对数的导数
自然对数函数的导数是倒数函数。
当
f (x) = ln(x)
时，f(x) 的导数是：
f ' (x) = 1 / x
自然对数的积分
自然对数函数的积分由以下给出：
当
f (x) = ln(x)
时，f(x) 的积分是：
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
0 的 ln
零的自然对数是未定义的：
ln(0) 未定义
当 x 接近零时，自然对数 x 的极限是负无穷：
1 的 ln
一的自然对数是零：
ln(1) = 0
无穷大的 ln
当 x 趋向无穷大时，自然对数的极限是无穷大：
lim ln(x) = ∞, 当 x→∞
复对数对数
对于复数 z：
z = reiθ = x + iy
复对数对数将会是 (n = ...-2,-1,0,1,2,...)：
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x) 的图像
对于实数非正的 x，ln(x) 未定义：
自然对数表
| 𝑥 | ln 𝑥 |
|---|---|
| 0 | 未定义 |
| 0+ | - ∞ |
| 0.0001 | -9.210340 |
| 0.001 | -6.907755 |
| 0.01 | -4.605170 |
| 0.1 | -2.302585 |
| 1 | 0 |
| 2 | 0.693147 |
| e ≈ 2.7183 | 1 |
| 3 | 1.098612 |
| 4 | 1.386294 |
| 5 | 1.609438 |
| 6 | 1.791759 |
| 7 | 1.945910 |
| 8 | 2.079442 |
| 9 | 2.197225 |
| 10 | 2.302585 |
| 20 | 2.995732 |
| 30 | 3.401197 |
| 40 | 3.688879 |
| 50 | 3.912023 |
| 60 | 4.094345 |
| 70 | 4.248495 |
| 80 | 4.382027 |
| 90 | 4.499810 |
| 100 | 4.605170 |
| 200 | 5.298317 |
| 300 | 5.703782 |
| 400 | 5.991465 |
| 500 | 6.214608 |
| 600 | 6.396930 |
| 700 | 6.551080 |
| 800 | 6.684612 |
| 900 | 6.802395 |
| 1000 | 6.907755 |
| 10000 | 9.210340 |